Question

5．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，点G是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面 A₁BG；
（2）若AB=BC，AC=$\sqrt{2}{A}{{A}_1}$，求证：AC₁⊥A₁B．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁，交A₁B于点O，连结OG，由三角形中位线定理得OG∥B₁C，由此能证明B₁C∥平面 A₁BG．
（2）由线面垂直得AA₁⊥BG，由已知推导出tan∠AC₁C=tan∠A₁GA=$\sqrt{2}$，从而得到A₁G⊥AC₁，由此能证明AC₁⊥A₁B．

解答 （1）证明：连结AB₁，交A₁B于点O，连结OG，
在△B₁AC中，∵G、O分别为AC、AB₁中点，∴OG∥B₁C，
又∵OG?平面A₁BG，B₁C?平面A₁BG，
∴B₁C∥平面 A₁BG．
（2）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，BG?平面ABC，
∴AA₁⊥BG，
∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，∴BG⊥平面ACC₁A₁，∴BG⊥AC₁，
∵G为棱AC中点，设AC=2，则AG=1，
∵$A{A}_{1}=\sqrt{2}$，∴在Rt△ACC₁和Rt△A₁AG中，tan∠AC₁C=tan∠A₁GA=$\sqrt{2}$，
∴∠AC₁C=∠A₁GA=∠A₁GA+∠C₁AC=90°，
∴A₁G⊥AC₁，
∵BG∩A₁G=G，∴AC₁⊥平面A₁BG，
∵A₁B?平面A₁BG，∴AC₁⊥A₁B．

点评 本题考查线面平行和异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．