Question

5．函数f（x）和g（x）的定义域均是（-$\frac{1}{2}$，+∞），其中f（x）=2（x+1）e^x+3，g（x）=x²+4x+2，则不等式f（x）＞g（x）+2e³-2的解集是（${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，+∞）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x）-2e³+2，求出h（x）的单调性，得到h（x）＞0的解集即原不等式的解集．

解答 解：∵f（x）=2（x+1）e^x+3，g（x）=x²+4x+2，
f（x）＞g（x）+2e³-2，
即f（x）-g（x）-2e³+2＞0，
令h（x）=f（x）-g（x）-2e³+2，
则h′（x）=f′（x）-g′（x）=（x+2）（e^x+3-1），
∵f（x）和g（x）的定义域均是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
∴h′（x）＞0，
∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∴h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，
故不等式的解集是：（${e}^{\frac{5}{2}}$-2e³-2，+∞）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查转化思想以及函数的单调性问题，是一道中档题．