Question

15．设f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+5，若至少存在一个x₀∈[-1，2]时，f（x₀）＜m成立，则实数m的取值范围是m＞$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得：m＞f（x）_min，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：至少存在一个x₀∈[-1，2]时，f（x₀）＜m成立，∴m＞f（x）_min．

x	$[-1，-\frac{2}{3}）$	$-\frac{2}{3}$	$（-\frac{2}{3}，1）$	1	（1，2]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），x∈[-1，2]，
列表如下：由表格可知：x=1时，函数f（x）取得极小值，f（1）=1-$\frac{1}{2}$-2+5=$\frac{7}{2}$，又f（-1）=-1-$\frac{1}{2}$+2+5=$\frac{15}{2}$．
∴f（x）_min=$\frac{7}{2}$．
∴$m＞\frac{7}{2}$．
故答案为：$m＞\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．