Question

7．关于x的方程2ax=x²-2alnx有唯一解，则正实数a的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=x²-2alnx-2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．

解答 解：∵a＞0，∴由2ax=x²-2alnx得x²-2alnx-2ax，（x＞0），
设g（x）=x²-2alnx-2ax，（x＞0），
若方程x²-2alnx-2ax=0有唯一解，
即g（x）=0有唯一解，
则g′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$-2a=$\frac{2（{x}^{2}-ax-a）}{x}$，
令g′（x）=0，可得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$（另一根舍去），
当x∈（0，x₁）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上是单调递减函数；
当x∈（x₁，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₁，+∞）上是单调递增函数，
∴当x=x₂时，g′（x₁）=0，g（x）_min=g（x₁），
∵g（x）=0有唯一解，
∴g（x₁）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（{x}_{1}）=0}\\{g′（{x}_{1}）=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}-2aln{x}_{1}-2a{x}_{1}=0}\\{{{x}_{1}}^{2}-a{x}_{1}-a=0}\end{array}\right.$，
∴2alnx₁+ax₁-a=0
∵a＞0，
∴2lnx₁+x₁-1=0，
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程2lnx₁+x₁-1=0的解为x₁=1，
即x₁=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，
∴$a=\frac{1}{2}$，
∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，进行求解是解决本题的关键．