Question

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)、B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e＝．

(1)求椭圆方程；

(2)设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF₂的中点，求证：∠ATM＝∠AF₁T．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)过点A、B的直线方程为＋y＝1． 　　因为由题意得有惟一解， 　　即(b2＋a2)x2－a2x＋a2－a2b2＝0有惟一解， 　　所以Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0(ab≠0)， 　　故a2＋4b2－4＝0． 　　又因为e＝，即＝， 　　所以a2＝4b2，从而得a2＝2，b2＝， 　　故所求的椭圆方程为＋2y2＝1． 　　(2)由(1)得c＝，故F1(－，0)，F2(，0) 　　从而M(，0)． 　　由解得x1＝x2＝1， 　　所以T(1，)． 　　因为tan∠AF1T＝－1， 　　又tan∠TAM＝，tan∠TMF2＝，得 　　tan∠ATM＝， 　　因此∠ATM＝∠AF1T．