Question

已知函数f（x）的定义域为R．若?常数c＞0，对?x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列三个函数：
①f（x）=2^x；     ②f（x）=sinx；     ③f（x）=x³-x．
其中，具有性质P的函数的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据f（x）=2^x 是R上的增函数，故满足条件．因为f（x）=sinx是周期函数，故不满足条件．对于f（x）=x³-x，利用导数求得函数的减区间为（-，）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞ 就可以了，故满足条件，从而得出结论．
解答：解：①因为f（x）=2^x 是R上的增函数，所以满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）具有性质P．
 ②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）
具有性质P．
③∵f（x）=x³-x，∴f′（x）=3x²-1，当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）
是递减函数．
即在（-，）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞ 就可以了，如c=1就满足了．
所以，满足f（x+c）＞f（x-c）．
故答案为 ①③．
点评：本题主要考查新定义，命题真假的判断，函数的周期性和单调性的应用，属于基础题．