Question

6．直线y=x+m与圆C：（x+4）²+y²=8交于M、N两点，且|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [2，6]
• B． [4-$\sqrt{2}$，4+$\sqrt{2}$]
• C． [-6，-2]
• D． [-4-$\sqrt{2}$，-4+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 MN的中点为A，则CA⊥MN，并且2$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$，利用|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，可得|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，从而可得|$\overrightarrow{CA}$|≤$\sqrt{2}$，利用点到直线的距离公式，可得$\frac{|-4+m|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：设MN的中点为A，则CA⊥MN，并且2$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$，
∵|$\overrightarrow{MN}$|≥$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CM}$+$\overrightarrow{CN}$|，
∴|$\overrightarrow{MN}$|≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，
即为2$\sqrt{8-|\overrightarrow{CA}{|}^{2}}$≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{CA}$|，解得|$\overrightarrow{CA}$|≤$\sqrt{2}$，
∴C到直线MN的距离$\frac{|-4+m|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{2}$，
解得2≤m≤6．
故选：A．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离问题，关键是通过熟练的运算得到m的不等式解之．