Question

17．已知$\overrightarrow{a}$=（1，t），$\overrightarrow{b}$=（t，-6），则|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 进行向量坐标的加法和数乘运算便可得出$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（2+t，2t-6）$，从而进行数量积的坐标运算即可求出$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=5（{t}^{2}-4t+8）$，这样配方即可求出5（t²-4t+8）的最小值，从而得出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的最小值．

解答 解：$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=2（1，t）+（t，-6）$=（2+t，2t-6）；
∴$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}=（2+t）^{2}+（2t-6）^{2}$
=5（t²-4t+8）
=5（t-2）²+20；
∴t=2时，$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$取最小值20，即$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$取最小值$2\sqrt{5}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，要求$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的最小值而求$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$的最小值的方法，以及配方求二次函数最值的方法．