Question

2．已知棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则点B到平面ACB₁的距离是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 画出图形，证明BD₁⊥平面AB₁C，再计算BO的长即可．

解答 解：连接BD₁，BD，则AC⊥BD，AC⊥B₁B
∵BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面BD₁，
∵BD₁?平面BD₁，∴AC⊥BD₁，
同理AB₁⊥BD₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C，
设垂足为O，棱长为2，
在三棱锥B₁-ABC中，$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2²×2=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2×2²×BO
∴BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即B到平面ACB₁的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查点到面的距离的计算，考查线面垂直的证明与三棱锥的体积，属于中档题．