Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（Ⅱ）设

BA

•

BC

=

3

2

，求a、c的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由cosB=

3

4

，B∈（0，π）．可得sinB=

1-cos2B

．由a、b、c成等比数列，可得b²=ac，再利用正弦定理可得sinAsinC=sin²B．于是可得

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

；
（Ⅱ）设

BA

•

BC

=

3

2

，则accosB=

3

2

，可得ac=2．再利用余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB化简整理，联立即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由cosB=

3

4

，B∈（0，π）．
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

．
∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
由正弦定理可得sinAsinC=sin²B．
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

4 7

7

；
（Ⅱ）设

BA

•

BC

=

3

2

，则accosB=

3

2

，∴

3

4

ac=

3

2

，化为ac=2．
由余弦定理可得：2=ac=b²=a²+c²-2accosB=a2+c2-2ac×

3

4

，化为a²+c²=5．
联立

ac=2 a2+c2=5

，解得

a=2 c=1

或

a=1 c=2

．
即a=2，c=1，或a=1，c=2．

点评：本题考查了等比数列的性质、正弦定理与余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．