Question

2．实数x，y满足（x-2）²+y²=1，求下列各式的最大值：
（1）$\frac{y}{x}$；
（2）$\frac{y-1}{x}$；
（3）x²+y²；
（4）x²+y²+2x-4y+2．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{y}{x}$的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值；
（2）根据$\frac{y-1}{x}$的几何意义表示过圆上的点与（0，1）的直线的斜率，画出图象，读出即可；
（3）根据x²+y²表示圆上的点到原点的距离的平方，从而求出其最大值；
（4）将x²+y²+2x-4y+2变形为（x+1）²+（y-2）²-3，而（x+1）²+（y-2）²表示圆上的点到（-1，2）的距离的平方，画出图象，求出即可．

解答 解：（1）$\frac{y}{x}$的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．
设$\frac{y}{x}$=k，则kx-y=0．由 $\frac{|2k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故（$\frac{y}{x}$）_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{y-1}{x}$表示过圆上的点与（0，1）的直线的斜率，
如图示：
，
显然，直线过定点（0，1）和圆上的点（2，1）时，斜率最大，
最大值是：0；
（3）x²+y²表示圆上的点到原点的距离的平方，
显然，圆上的点（3，0）到原点的距离最大，
∴x²+y²=3²+0=9，
故x²+y²的最大值是9；
（4）∵x²+y²+2x-4y+2=（x+1）²+（y-2）²-3
要求x²+y²+2x-4y+2的最大值，
即求（x+1）²+（y-2）²的最大值，
而（x+1）²+（y-2）²表示圆上的点到（-1，2）的距离的平方，
画出图象：
，
当（x+1）²+（y-2）²=AC²时，最大，
而AC=AB+BC=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$+1=$\sqrt{13}$+1，
∴（x+1）²+（y-2）²-3=${（\sqrt{13}+1）}^{2}$-3=11+2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了圆的标准方程，考查直线和圆的关系，简单的线性规划问题，是一道中档题．