Question

17．在△ABC中，a²+c²-b²=ac，又log₄sinA+log₄sinC=-1，且△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求三边a，b，c的长及三个内角A，B，C的度数．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可求得B，由对数运算法则及积化和差公式可得a=c，由三角形面积公式即可求得a，b，c的值和三个内角A，B，C的值．

解答 解：∵a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B为内角，可得B=60°，
∵log₄sinA+log₄sinC=-1，
∴sinAsinC=$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]，
即有：-$\frac{1}{2}$-cos（A-C）=-$\frac{1}{2}$，可得：cos（A-C）=0，
可得：A=C，a=c，
∵ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\sqrt{3}$，
∴a=c=2，
所以a=b=c=2，A=B=C=60°．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，对数运算法则及积化和差公式的综合应用，属于基本知识的考查．