Question

12．在△ABC中，
（1）已知cosA=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，求cosC；
（2）已知sinA=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{5}{13}$，求cosC．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得cosC的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosA和sinB的值，再利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得cosC的值．

解答 解：在△ABC中，
（1）∵已知cosA=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{12}{13}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{5}{13}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-coaAcosB+sinAsinB=-$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$=-$\frac{33}{65}$．
（2）∵cosB=$\frac{5}{13}$，∴sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．
∵sinA=$\frac{3}{5}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），或A∈（$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$）（舍去），∴cosA=$\sqrt{{1-sin}^{2}A}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosC=-cos（A+B）=-coaAcosB+sinAsinB=-$\frac{4}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=-$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．