Question

3．已知z=$\frac{1+i}{z}$，则|z|=$\root{4}{2}$．

Answer 1

分析 由题意设z=x+yi（x，y∈R），代入z=$\frac{1+i}{z}$求得x²，y²的值，则|z|可求．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
由z=$\frac{1+i}{z}$，得z²=1+i，即（x+yi）²=1+i，
整理得：（x²-y²）+2xyi=1+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\\{2xy=1}\end{array}\right.$，解得：${x}^{2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，${y}^{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
∴|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$=$\root{4}{2}$．
故答案为：$\root{4}{2}$．

点评 本题考查复数模的求法，考查了复数相等的条件，考查计算能力，是基础题．