Question

10．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c且满足∠B=2∠A．
（1）若b=$\sqrt{3}$a，求cosC的值；
（2）若b²=2ac，求cosA．

Answer 1

分析 （1）由已知及倍角公式可得sinB=2sinAcosA，由已知及正弦定理可得sinB=$\sqrt{3}$sinA，结合sinA≠0，解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而可求A，B，C，即可得解．
（2）由已知及正弦定理可得：sin²B=2sinAsinC，又sinB=sin2A=2sinAcosA，∠C=π-3A，结合三角函数恒等变换的应用可得cos2A=0，从而可求A=45°，即可求得cosA的值．

解答 解：（1）∵∠B=2∠A．∴sinB=sin2A=2sinAcosA，
∵b=$\sqrt{3}$a，∴由正弦定理可得：sinB=$\sqrt{3}$sinA，
∴$\sqrt{3}$sinA=2sinAcosA，
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0，解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{π}{2}$，
∴cosC=cos$\frac{π}{2}$=0．
（2）∵b²=2ac，∴由正弦定理可得：sin²B=2sinAsinC，又sinB=sin2A=2sinAcosA，
∴2sinAsinC=4sin²Acos²A，
∴sinC=2sinAcos²A，
∵∠B=2∠A，∴∠C=π-3A，
∴sin（π-3A）=sin3A=sinAcos2A+cosAsin2A=sinAcos2A+2sinAcos²A=2sinAcos²A，
∴解得：sinAcos2A=0，即cos2A=0，
∴2A=B=90°，A=45°，cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理的应用，属于基本知识的考查．