Question

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$
（1）求角A的大小；
（2）若a²=（c-b）²+6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式与二倍角的余弦可求得cosA=$\frac{1}{2}$，从而可求得△ABC中的∠A；
（2）将已知条件a²=（c-b）²+6变形后可得：b²+c²-a²=2bc-6，由余弦定理及（1）可解得bc，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由条件知可得2[1-cos（B+C）]-2cos²A+1=$\frac{7}{2}$，
∵A+B+C=π，
∴2+2cosA-2cos²A+1=$\frac{7}{2}$，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又A∈（0，π）
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由条件知可得a²=（c-b）²+6，解得：b²+c²-a²=2bc-6，
由余弦定理及（1）可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2bc-6}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，解得：bc=6，
故${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理，考查降幂公式与二倍角的余弦，考查解方程的能力，属于中档题．