Question

15．已知x、y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥0}\end{array}\right.$，z=ax+y的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数，由目标函数的最大值为4求得a的值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≤2}\\{y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得B（1，1）．
化目标函数z=ax+y为y=-ax+z，
若0≤a＜1，则当直线y=-ax+z过B（1，1）时，z有最大值为a+1=4，解得a=3（舍）；
若a＞1，则当直线y=-ax+z过A（2，0）时，z有最大值为2a=4，即a=2；
若-1≤a＜0，则当直线y=-ax+z过B（1，1）时，z有最大值为a+1=4，解得a=3（舍）；
若a＜-1，则当直线y=-ax+z过O（0，0）时，z有最大值为0≠4（舍）．
综上，a的值是2．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题．