Question

15．已知向量$\overrightarrow{s}$=（2sinC，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{t}$=（cos2C，2cos²$\frac{C}{2}$-1），且$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$，若sinA=$\frac{2}{3}$，求sin（$\frac{π}{3}$-B）．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$，求出C的值，通过sinA=$\frac{2}{3}$，求出cosA，然后利用两角差的正弦函数求sin（$\frac{π}{3}$-B）的值．

解答 解：由$\overrightarrow{s}$=（2sinC，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{t}$=（cos2C，2cos²$\frac{C}{2}$-1），且$\overrightarrow{s}$∥$\overrightarrow{t}$，
得2sinC（$2co{s}^{2}\frac{C}{2}-1$）+$\sqrt{3}cos2C=0$，
即2sinCcosC+$\sqrt{3}$cos2C=0，∴sin2C+$\sqrt{3}cos2C$=0，
∴sin2C=-$\sqrt{3}$cos2C，即tan2C=-$\sqrt{3}$，
∵sinA=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A$＜\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}＜A＜\frac{5π}{6}$，则2C＜$\frac{5}{3}$π，
∴2C=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{π}{3}$，则A为锐角．
∴A=$\frac{2π}{3}$-B，
则sin（$\frac{π}{3}$-B）=sin[（$\frac{2π}{3}$-B）-$\frac{π}{3}$]=sin（A-$\frac{π}{3}$）．
又sinA=$\frac{2}{3}$，且A为锐角，∴cosA=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sin（$\frac{π}{3}$-B）=sin（A-$\frac{π}{3}$）
=sinAcos$\frac{π}{3}$-cosAsin$\frac{π}{3}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2-\sqrt{15}}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积与向量的平行的应用，两角和与差的三角函数，注意角的范围的确定是解题的关键，考查计算能力，是中档题．