Question

5．7个人站成一排照相（假定7人的身高均不同）；①某1人必须站在中间；②某2人必须排在一起；③其中某4人与其余3人必相间而排；④若7人全部按高矮顺序排列．问各有多少种排法？

Answer 1

分析 ①、分2步进行分析：1、某1人必须站在中间，分析可得这个人只有1种站法，2、将剩余的6个人将全排列，安排在其他6个位置，由分步计数原理计算可得答案；
②、分2步进行分析：1、由于某2人必须排在一起，用捆绑法将将这2人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，2、将这个整体与其他5人进行全排列，由分步计数原理计算可得答案；
③、根据题意，要求其中某4人与其余3人必相间而排，依次分析“某4人”与“其余3人”的顺序情况，再分析“某4人与其余3人必相间而排”的情况，由分步计数原理计算可得答案；
④、若7人全部按高矮顺序排列，7个人之间的顺序是一定的，可以分从左到右从高到低或从左到右从低到高2种情况，即可得答案．

解答 解：①、根据题意，某1人必须站在中间，则这个人只有1种站法，
将剩余的6个人将全排列，安排在其他6个位置，有A₆⁶=720种情况，
则某1人必须站在中间的排法有1×720=720种；
②、根据题意，某2人必须排在一起，将这2人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A₂²=2种情况，
将这个整体与其他5人进行全排列，有A₆⁶=720种情况，
则某2人必须排在一起的排法有2×720=1440种；
③、根据题意，要求其中某4人与其余3人必相间而排，
考虑某4人之间的顺序，有A₄⁴=24种情况，其余3人之间的顺序有A₃³=6种情况，
分析某4人与其余3人必相间而排，有1种情况，
则某4人与其余3人必相间而排的排法有24×6=144种；
④、若7人全部按高矮顺序排列，7个人之间的顺序是一定的，
可以分从左到右从高到低或从左到右从低到高2种情况，
则7人全部按高矮顺序排列有2种排法．

点评 本题考查排列、组合的运用，解题的关键正确理解题意的要求，选择相应的方法．