Question

已知函数f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

），得到f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

，然后，借助于周期公式进行求解；
（2）根据x∈[0，

π

2

]，得到（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，然后，结合三角函数的单调性确定最小值．

解答： 解：（1）f（x）=sinωx•cos（ωx+

π

6

）
=sinωx•（

3

2

cosωx-

1

2

sinωx）
=

3

2

sinωxcosωx-

1

2

sin²ωx
=

3

4

sin2ωx+

1

4

cos2ωx-

1

4

=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

∴f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

）-

1

4

，
∵函数f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
∴T=π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴ω的值1；
（2）根据（1），得
f（x）=

1

2

sin（2x+

π

6

）-

1

4

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x∈[0，π]．
∴（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴当2x+

π

6

=

7π

6

时，函数f（x）在[0，

π

2

]上的最小值-

1

2

．

点评：本题综合考查了二倍角公式、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题．