Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据二倍角公式化简函数解析式：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，然后，结合三角函数的单调性进行求解；
（2）直接根据x∈[

π

4

，

π

2

]，得到∴（2x-

π

3

）∈[

π

6

，

2π

3

]，从而得到f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（3）根据|f（x）-m|＜2，得到m-2＜f（x）＜m+2，然后根据恒成立问题，得到

m+2＞3 m-2＜2

，从而得到实数m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=sin2x-

3

cos2x+1
=2sin（2x-

π

3

）+1，
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
令

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴x∈[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，（k∈Z）
∴f（x）的单调减区间是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]  （k∈Z）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x∈[

π

2

，π]，
∴（2x-

π

3

）∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2sin（2x-

π

3

）∈[1，2]，
∴f（x）∈[2，3]，
∴f（x）值域是[2，3]
（3）∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2，
∵不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m+2＞3 m-2＜2

，
∴1＜m＜4，
∴实数m的取值范围是1＜m＜4．

点评：本题综合考查了三角公式、三角恒等变换公式、恒成立问题、二倍角公式等知识，属于中档题．