Question

如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于

π

3

，半径为3，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧

AB

于点P
（Ⅰ）若

OA

=

3

2

CA

，求线段PC的长
（Ⅱ）设∠COP=θ，求线段CP与线段OC的长度的和的最大值及此时θ的值．

Answer 1

考点：正弦定理,弧度制的应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由题意可得OC=1，在△OCP中由余弦定理可得PC的方程，解方程可得；（Ⅱ）在△POC中由正弦定理可用θ表示出线段CP和OC，由三角函数的知识可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵

OA

=

3

2

CA

，∴OA=3OC，∴OC=1，
在△OCP中，∠OCP=

2π

3

，OP=3，
由余弦定理可得OP²=OC²+PC²-2•OC•PC•cos120°，
代入数据化简可得PC²+PC-8-0，解得PC=

-1+ 33

2

；
（Ⅱ）∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=∠

π

3

-θ，又∠OCP=

2π

3

，
在△POC中由正弦定理可得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

=

OC

sin( π 3 -θ)

=

3

sin 2π 3

，
∴CP=2

3

sinθ，OC=2

3

sin（

π

3

-θ），
∴CP+OC=2

3

sinθ+2

3

sin（

π

3

-θ）
=

3

sinθ+3cosθ=2

3

sin（

π

3

+θ），
∴当θ=

π

6

时，线段CP与线段OC的长度的和取最大值2

3

点评：本题考查三角函数的求值和化简，涉及正弦定理和向量的应用，属中档题．