Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求异面直线PD和EC所成角．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点G，连接FG、EG，证出AF∥EG，由线面平行的判定定理，即可证出：AF∥平面PCE．
（2）取CD的中点N，得到∠ANM即为异面直线所成角，由长度关系得到cos∠ANM=

5

5

即异面直线PD和EC所成角为arccos

5

5

．

解答：证明：（1）取PC的中点G，连接FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线∴FG

∥

.

CD
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴AB

∥

.

CD，∴FG

∥

=AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE；
（2）取CD的中点N，连接MN，AN，AM，
∴MN∥PD，MN=

1

2

PD，AN∥EC
∴∠ANM即为异面直线所成角，
∵PA=2，PA⊥面ABCD，∠PDA=45°，
∴AB=2，AN=

5

，MN=

2

，AM=

1

2

PC=

3

∴cos∠ANM=

5

5

，即异面直线PD和EC所成角为arccos

5

5

．

点评：本题考查线面位置关系，面面位置关系的判定，空间角的求解．考查空间想象能力，转化思想，计算能力．