Question

【题目】已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)过定点

【解析】

(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得,又因为离心率为,从而求出,又因为,求出的值,从而求出椭圆的标准方程;

(2)先求出点的坐标,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,设,,得到,又因为的平分线在轴上,所以,从而求出的值,得到直线的方程为过定点坐标.

解:(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得，

,解得.又,解得.

∴椭圆的标准方程为:.

(2)由(1)得,直线的方程为

令得,,即.设直线的方程为

联立方程组,消去得,

设,,,

则直线、的斜率,

所以

的平分线在轴上,,即

又,,.

即直线的方程为,过定点.