Question

7．已知：二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数且a≠0）满足f（x+5）=f（-x-3）且方程f（x）=x有等根
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n，（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x+5）=f（-x-3），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．

解答 解：（1）∴f（x）满足f（x+5）=f（-x-3），
∴f（x）的图象的对称轴为x=1
∴$-\frac{b}{2a}=1即b=-2a$①，
又f（x）=x即ax²+（b-1）x=0有等根，∴b=1②
由①②得$a=-\frac{1}{2}，b=1$，∴$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$…（4分）
（2）假设存在实数m，n（m＜n）使题设条件成立
由（1）知：$f（x）=-\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$，∴$3n≤\frac{1}{2}$，∴$n≤\frac{1}{6}$
∴f（x）在[m，n]上是增函数，
∴f（m）=3mf（n）=3n（m＜n）
∴m，n是方程f（x）=3x的二根且m＜n
解方程$f（x）=3x即-\frac{1}{2}{x^2}-2x=0得m=-4，n=0$
∴存在实数m=-4，n=0，使f（x）的定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中（1）的关键是由已知条件构造关于a，b的方程组，（2）的关键是根据函数的值域判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程．