Question

17．已知函数f（x）=|x+3|+|x-1|，其最小值为t．
（1）求t的值；
（2）若正实数a，b满足a+b=t，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式|a+b|≥|a-b|便可得出|x+3|+|x-1|≥4，从而得出f（x）的最小值为4，即得到t=4；
（2）可知a+b=4，a＞0，b＞0，从而有$1=\frac{a+b}{4}$，这样便可得出$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}+\frac{5}{4}$，而根据基本不等式即可得出$\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}≥1$，这样便可证出$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥\frac{9}{4}$．

解答 解：（1）f（x）=|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|=4；
∴f（x）的最小值为4；
∴t=4；
（2）证明：a＞0，b＞0，a+b=4；
∴$1=\frac{a+b}{4}，4=a+b$；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{a+b}{4a}+\frac{a+b}{b}$
=$\frac{b}{4a}+\frac{a}{b}+\frac{5}{4}$
$≥2\sqrt{\frac{b}{4a}•\frac{a}{b}}+\frac{5}{4}=\frac{9}{4}$，当且仅当$\frac{b}{4a}=\frac{a}{b}$，即b=$2a=\frac{8}{3}$时取“=”；
即$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}≥\frac{9}{4}$．

点评 考查绝对值不等式公式：|a|+|b|≥|a-b|，以及基本不等式的应用，应用基本不等式要注意判断等号能否取到．