Question

已知函数f（x）=x﹣﹣2lnx在定义域是单调函数，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当m取得最小值时，数列{a_n}满足：a₁=m+3，a_n+1=f′（）﹣na_n+1，n∈N*．
试证：
①a_n＞n+2；
②+++…+＜．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=，令h（x）=x²﹣2x+m，△=（﹣2）²﹣4m，
当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；
当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），
f（x）在定义域内不单调，
∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．
∴实数m的取值范围为[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴当m取得最小值时m=1，
∴a₁=3+m=4，
又a_n+1=f′（）﹣na_n+1，n∈N*．
∴a_n+1=a_n²﹣na_n+1
①用数学归纳法证明：
（I）当n=1时，a₁=4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假设当n=k时，不等式成立，即a_k＞k+2，
那么，a_k+1=a_k（a_k﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，
也就是说，当n=k+1时，a_k+1＞（k+1）+2，
根据（I）和（II），对于所有n≥1，有a_n≥n+2．
②由a_n+1=a_n（a_n﹣n）+1及①，对k≥2，有
a_k=a_k﹣1（a_k﹣1﹣k+1）+1≥a_k﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2a_k﹣1+1
∵1+a_k≥2（a_k﹣1+1），
由等比数列的通项公式可得：a_k≥2^k﹣1（a₁+1）﹣1，
于是＜（k≥2），
∴++…+＜＜==．