Question

【题目】设函数，

（1）求函数在上的值域

（2）设，若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）对函数进行求导得，再根据导数不等式求得单调区间和极值，并与区间端点函数值比较，从而得到函数在闭区间的最值，从而得到函数的值域；

（2）由知：，显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0，再利用导数研究的最值和单调性，从而得到参数的取值范围.

（1），令，则

当时，,所以在上递增

当时，,所以在上递减

因为，

所以函数的最小值为，最大值为0，

所以函数的值域是.

（2）由知：，显然是其一个根，所以方程有两个不相等的实数根等价于方程有且仅有一个根且不为0；

令.，

易知在递增，在递减,

当时，,且，

若方程有且仅有一个根且不为0，

所以或.