Question

动圆经过定点，且与直线相切。
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）直线过定点与曲线交于、两点：
①若，求直线的方程；
②若点始终在以为直径的圆内，求的取值范围。

Answer 1

（1）；（2），。

解析试题分析：（1）由题意：到点距离与到直线距离相等，所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为
（2）①设直线：，代入抛物线方程得：
设 则　　　　　　　　　
　由得，
代入解得： 即所求直线方程为。　　　　　　　　　　　　　　　　　　
②，由题意：　　　　　　　　　　
即，，化简得：
对于任意的恒成立。　　
满足，则且，解得。综上知，的取值范围为。
考点：轨迹方程的求法；点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。
点评：（1）求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。（2）直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．