如图，已知
是长轴为
的椭圆上三点，点
是长轴的一个顶点，
过椭圆中心
，且
.
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点
使直线
与
轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数
使
?请给出证明．
(1)
(2) 存在实数使
证明：设直线
的方程为
，所以直线
的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去
得
，所以
同理
又
，所以
，所以
，即存在实数使成立
解析试题分析：(1)以为原点，
所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则
，椭圆方程可设为
而为椭圆中心，由对称性知
又
，所以
又
，所以
所以
为等腰直角三角形，所以点
的坐标为
将 代入椭圆方程得
则椭圆方程为
(2)由直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为
，
则直线的斜率为
，直线的方程为，
直线的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
①
因为
在椭圆上，所以
是方程①的一个根，于是 同理
这样，
又，所以
即
.所以，即存在实数使.
考点：求椭圆方程及直线与椭圆相交韦达定理的应用
点评：本题对于高二文科学生有一定的难度，可区分出优秀学生与一般学生
第1卷单元月考期中期末系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分16分）
已知椭圆
的离心率为
，一条准线
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设O为坐标原点，
是
上的点，
为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆
交于
两点．
①若
，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证：点
在定圆上，并求该定圆的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）
过抛物线焦点垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通径。如图，已知抛物线
，过其焦点F的直线交抛物线于
、
两点。过
、
作准线的垂线，垂足分别为
、
.
（1）求出抛物线的通径，证明
和
都是定值，并求出这个定值；
（2）证明： 
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
动圆
经过定点
，且与直线
相切。
（1）求圆心的轨迹
方程；
（2）直线
过定点
与曲线交于
、
两点：
①若
，求直线的方程；
②若点
始终在以
为直径的圆内，求
的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本题满分12分）给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点
，求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分12分）已知椭圆M的中心为坐标原点 ，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线
的焦点，M的离心率
，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线
，交M于A，B两点。
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且
，求实数t的取值范围。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（满分10分）（Ⅰ） 设椭圆方程
的左、右顶点分别为
，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线
的斜率分别为
，求证
为定值并求出此定值；
（Ⅱ）设椭圆方程
的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，利用（Ⅰ）的结论直接写出的值。（不必写出推理过程）
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的一个顶点为
，离心率为
.直线
与椭圆
时，求
的值.