Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为

3

4

c，求双曲线的渐近线方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线l过（a，0），（0，b）两点，可得方程为

x

a

+

y

b

=1，由于原点到直线l的距离为

3

4

c，利用原点到直线的距离公式可得

ab

a2+b2

=

3

4

c，再利用c²=a²+b²即可得出．

解答： 解：∵直线l过（a，0），（0，b）两点，
∴方程为

x

a

+

y

b

=1，化为bx+ay-ab=0．
∵原点到直线l的距离为

3

4

c，
∴

ab

a2+b2

=

3

4

c，化为ab=

3

4

c2，
∴

3

(a2+b2)=4ab，
化为

3

(

b

a

)2-4

b

a

+

3

=0，0＜

b

a

＜1，解得

b

a

=

3

3

．
∴渐近线方程为y=±

3

3

x．

点评：本题考查了双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．