Question

设函数f（x）=lnx，g（x）=

2(x-1)

x+1

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，证明：f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）函数f（x）与f（x）的图象在交点处是否有公切线？若有，求出该公切线的方程；若没有，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数y=f（x）-g（x）定义域并求导，从而判断单调区间；
（Ⅱ）由函数y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函数，且当x=1时，y=f（x）-g（x）=0-0=0，从而得证；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得，函数f（x）与g（x）的图象的交点为（1，0），从而求导数，最终求公共切线．

解答： 解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

的定义域为（0，+∞），
y′=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

≥0，
故函数y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）证明：∵函数y=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是增函数；
又∵当x=1时，y=f（x）-g（x）=0-0=0，
∴当x＞1时，f（x）-g（x）＞f（1）-g（1）=0，
∴f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可得，
函数f（x）与g（x）的图象的交点为（1，0），
在该点处的导数分别为：
f′（1）=1，g′（1）=1；
故在（1，0）处有公切线，
其公共切线为y-0=x-1，
即x-y-1=0．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了导数的几何意义，属于中档题．