Question

18．设同时满足条件：①$\frac{{{b_n}+{b_{n+2}}}}{2}$≥b_n+1；②b_n≤M（n∈N^*，M是常数）的无穷数列{b_n}叫做P数列，已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{2{S_n}}}{a_n}$+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；并证明数列{$\frac{1}{b_n}$}为P数列．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得数列{a_n}是以a为首项、a为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）由（1）知，${b}_{n}=\frac{2×\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}}+1=\frac{（3a-1）{a}_{n}-2a}{（a-1）{a}_{n}}$，再由数列{b_n}是等比数列，得a=$\frac{1}{3}$，联立可得${b}_{n}={3}^{n}$．验证满足条件①②得答案．

解答 解：（1）当n=1时，${a}_{1}={S}_{1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{1}-1）$，∴a₁=a．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$，整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=a$，
即数列{a_n}是以a为首项、a为公比的等比数列，∴${a}_{n}=a•{a}^{n-1}={a}^{n}$；
（2）由（1）知，${b}_{n}=\frac{2×\frac{a}{a-1}（{a}_{n}-1）}{{a}_{n}}+1=\frac{（3a-1）{a}_{n}-2a}{（a-1）{a}_{n}}$，（*）
由数列{b_n}是等比数列，则${{b}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{3}$，
故$（\frac{3a+2}{a}）^{2}=3•\frac{3{a}^{2}+2a+2}{{a}^{2}}$，解得a=$\frac{1}{3}$，
再将$a=\frac{1}{3}$代入（*）式，得${b}_{n}={3}^{n}$．
由于$\frac{\frac{1}{{b}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n+2}}}{2}=\frac{\frac{1}{{3}^{n}}+\frac{1}{{3}^{n+2}}}{2}＞\frac{2\sqrt{\frac{1}{{3}^{n}}•\frac{1}{{3}^{n+2}}}}{2}$=$\frac{1}{{3}^{n+1}}=\frac{1}{{b}_{n+1}}$，满足条件①；
又由于$\frac{1}{{b}_{n}}=\frac{1}{{3}^{n}}≤\frac{1}{3}$，故存在M$≥\frac{1}{3}$满足条件②．
故数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为P数列．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查等比数列通项公式的求法，是中档题．