Question

【题目】(2015·湖南）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。

（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直线AC1与平面AA1BB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。

Answer 1

【答案】
（1）

略。

（2）

【解析】（I）如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以AE⊥BB1 ， 又E是正三角形的边BC的中点，
ABC所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1 ， 而AE平面AEF，
所以平面AEF⊥平面B1BCC1。
（II）设AB的中点为D，连接A1DCD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D=45°，
所以A1D=CD=AB=，
在Rt△AA1D中，AA1===，所以FC=AA1=
故三棱锥F-AEC的体积V=SAECxFC=xx=。

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．