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    双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）的右顶点A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使
    AP
    •
    PQ
    =0，求此双曲线的离心率的取值范围．
    考点：双曲线的简单性质
    专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：点P（m，n），利用数量积为零算出（m-a）（2a-m）-n2=0，结合点P（m，n）在双曲线上消去n，得关于m的一元二次方程：（m-a）（2a-m）-b2（
    m2
    a2
    -1）=0，此方程的一个根为a，而另一个根为大于a的实数，由此建立关于a、b、c不等式关系，化简整理即可得到离心率e的取值范围．
    解答： 解：设点P（m，n），可得
    AP
    =（m-a，n），
    PQ
    =（2a-m，-n）
    ∵
    AP
    •
    PQ
    =（m-a）（2a-m）-n2=0（1）
    又∵P（m，n）在双曲线上，
    ∴
    m2
    a2
    -
    n2
    b2
    =1，得n2=b2（
    m2
    a2
    -1）（2）
    将（2）式代入（1）式，得（m-a）（2a-m）-b2（
    m2
    a2
    -1）=0，
    化简整理，得-
    c2
    a2
    m2+3am+c2-3a2=0
    此方程的一根为m1=a，另一根为m2=
    3a3-ac2
    c2
    ．
    ∵点P是双曲线上异于右顶点A的一点，
    ∴
    3a3-ac2
    c2
    ＞a，得3a2＞2c2，即e2＜
    3
    2

    由此可得双曲线的离心率e满足1＜e＜
    		6
    2
    ．
    点评：本题给出双曲线上存在一点P，到A（a，0）和Q（2a，0）所张的角等于90度，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线关系等知识，属于中档题．
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    ．

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    已知sin（5π-θ）+sin（
    5
    2
    π-θ）=
    		7
    2
    ．求：sin3（
    π
    2
    +θ）-cos3（
    3
    2
    π-θ）的值．

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    y=
    |x2-1|
    x-1
    的图象与y=k恰有两个交点，求k的范围．

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    若函数f（x）=asinx+bcosx，非零向量
    m
    =（a，b），则称
    m
    为f（x）的“相伴向量”，f（x）为
    m
    的“相伴函数”
    （Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx-2（ω≥0）的最小正周期为2π，求f（x）的“相伴向量”
    m
    的模；
    （Ⅱ）向量
    n
    =(n，1)    的“相伴函数”为g（x），且
    n
    与（1）中
    m
    满足
    n
    •
    m
    =1+
    		3
    ．将g（x）图象上所有点横坐标伸长为原来2倍，再将图象向左平移
    2π
    3
    个单位长度，得到函数h（x），若h(2α+
    π
    3
    )=
    6
    5
    ，α∈(0，
    π
    2
    )    ，求sinα．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=lnx+
    1
    2
    ax2-2bx
    （Ⅰ）当a=-3，b=1时，求函数f（x）的最大值；
    （Ⅱ）令F（x）=f（x）-
    1
    2
    ax2+2bx+
    a
    x
    （
    1
    2
    ≤x≤3），其图象上存在一点P（x0，y0），使此处切线的斜率k≤
    1
    2
    ，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）当a=0，b=-
    1
    2
    ，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若两条曲线的极坐标方程分别为ρcosθ+
    		3
    ρsinθ=1与ρ=2cos(θ+
    π
    3
    )    ，它们相交于A、B两点，求线段AB的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f（x）=
    x2-4x+2，x≥0
    3x+1，x＜0
    ，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3
    的取值范围是（　　）
    A、（3，4]
    B、（
    11
    3
    ，4）
    C、（
    11
    3
    ，4]
    D、（3，4）

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