Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$（c∈R，n=1，2，3，…），且S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差数列．
（1）求c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）依题意，S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差数列⇒$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$，即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$，于是可求c的值；
（2）由c=1得：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，可知数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，于是可求得S_n=n²，继而可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+c}{n+1}$（c∈R，n=1，2，3，…），且S₁，$\frac{{S}_{2}}{2}$，$\frac{{S}_{3}}{3}$成等差数列，
∴$\frac{{S}_{2}}{2}$-$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$，即$\frac{1+c}{1+1}$=$\frac{2+c}{2+1}$，
解得：c=1；
（2）由c=1得：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，又$\frac{{S}_{1}}{1}$=1，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=1符合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1．

点评 本题考查数列递推式的应用，求得c=1与S_n=n²是解决问题的关键，考查等差数列性质的运用于等差关系的判定及通项公式的求法，属于中档题．