Question

（2012•厦门模拟）如图，射线y=

3

x(x≥0)上的点A₁，A₂，…，A_n，其中A₁（1，

3

），A₂（2，2

3

），且|AnAn+1|=

1

2

|An-1An|(n=2，3，4，…)．则An的横坐标是

3-(

1

2

)n-2

．

Answer 1

分析：设A_n（x_n，

3

xn），则A_n+1（x_n+1，

3

x_n+1），依题意可求得

xn+1-xn

xn-xn-1

=

1

2

，利用等比数列的性质可求得{x_n+1-x_n}的通项公式，再利用累加法即可求得A_n的横坐标．

解答：解：∵A₁，A₂，…，A_n为射线y=

3

x(x≥0)上的点，
∴设A_n（x_n，

3

xn），则A_n+1（x_n+1，

3

x_n+1），
∵|AnAn+1|=

1

2

|An-1An|(n=2，3，4，…)
∴

xn+1-xn

xn-xn-1

=

1

2

，又x₂-x₁=1，
∴{x_n+1-x_n}为首项是1，

1

2

为公比的等比数列，
∴x_n+1-x_n=(

1

2

)n-1，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2=3-(

1

2

)n-2
故答案为：3-(

1

2

)n-2

点评：本题考查简单的合情推理，考查两点间的距离公式，着重考查等比数列的通项公式及其应用，考查累加法求和，综合性强，属于难题．