Question

【题目】函数f（x）= +lnx，其中a为实常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ，

①当a≤0时，∵x＞0，∴x﹣a＞0，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在定义域上单调递增．

②当a＞0时，若x＞a，则f′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增；

若0＜x＜a，则f′（x）＜0，f（x）在（0，a）上单调递减．

综上所述，当a≤0时，f（x）在定义域上单调递增；

当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．

（2）解：当x∈（0，1）时，f（x）≥1a≥﹣xlnx+x，

不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，

a≥[﹣xlnx+x]max，x∈（0，1]，

令g（x）=﹣xlnx+x，g′（x）=﹣lnx≥0，x∈（0，1]，

∴g（x）在（0，1]上单调递增，

∴g（x）max=g（1）=1，∴a≥1，

∴a的范围为[1，+∞）．

【解析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≥[﹣xlnx+x]max ， x∈（0，1]，令g（x）=﹣xlnx+x，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．