【题目】已知函数f(x)=lnx﹣kx+2,k∈R.
(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)<2在R+上恒成立,求k的取值范围;
(3)若x1>0,x2>0,x1+x2<ex1x2 , 求证x1+x2>1.
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵ ,∴0<x<1,
∵ ,∴x>1
故函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞)
(2)解:欲使f(x)<2lnx﹣kx<0<在R+上恒成立,
只需k> 在R+上恒成立
设g(x)= (x>0),g′(x)= ,
x∈(0,e),g′(x)>0,g(x)为增函数,
x∈(e,+∞),g′(x)<0,g(x)为减函数,
∴x=e时,g(e)= 是最大值,
只需 <k,即k>
(3)解: 由(2)可知g(x)在(0,e)上单调增,
,即 ,
同理
相加得 ,
∴ ,
得:x1+x2>1.
【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题转化为k> 在R+上恒成立,设g(x)= (x>0),根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出k的范围即可;(3)根号g(x)的单调性,得到即 , ,相加整理即可.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】函数f(x)= +lnx,其中a为实常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=Asin(ωx+)(A,ω,为常数,且A>0,ω>0,0<<π)的部分图象如图所示.
(1)求A,ω,的值;
(2)当x∈[0, ]时,求f(x)的取值范围.
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【题目】用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”表示把红球和蓝球都取出来,以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑球中取出若干个球,且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是
①(1+a+a2+a3)(1+b3)(1+c)2
②(1+a3)(1+b+b2+b3)(1+c)2
③(1+a)3(1+b+b2+b3)(1+c2)
④(1+a3)(1+b)3(1+c+c2)
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (θ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ=﹣2.
(1)求C1和C2在直角坐标系下的普通方程;
(2)已知直线l:y=x和曲线C1交于M,N两点,求弦MN中点的极坐标.
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【题目】已知圆C1:(x﹣1)2+(y﹣3)2=1,圆C2:(x﹣6)2+(y﹣1)2=1,M,N分别是圆C1 , C2上的动点,P为直线x﹣y﹣2=0上的动点,则||PM|﹣|PN||的最大值为 .
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.
(1)求证:ACBC=ADAE;
(2)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.
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