【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.
(1)求证:ACBC=ADAE;
(2)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=4,CF=6,求AC的长.
【答案】
(1)证明:连接BE,
∵AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,
∴∠ADC=∠ABE=90°,
∵∠C=∠E,
∴△ADC∽△ABE.
∴AC:AE=AD:AB,
∴ACAB=ADAE,
又AB=BC
故ACBC=ADAE
(2)解:∵FC是⊙O的切线,∴FC2=FAFB
又AF=4,CF=6,从而解得BF=9,AB=BF﹣AF=5
∵∠ACF=∠CBF,∠CFB=∠AFC,∴△AFC∽△CFB
∴
∴
【解析】(1)首先连接BE,由圆周角定理可得∠C=∠E,又由AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,可得∠ADC=∠ABE=90°,则可证得△ADC∽△ABE,然后由相似三角形的对应边成比例,即可证得ACAB=ADAE;(2)证明△AFC∽△CFB,即可求AC的长.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣kx+2,k∈R.
(1)若k=1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)<2在R+上恒成立,求k的取值范围;
(3)若x1>0,x2>0,x1+x2<ex1x2 , 求证x1+x2>1.
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【题目】设函数f(x)=x2+aln(x+1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数F(x)=f(x)+ln 有两个极值点x1 , x2且x1<x2 , 求证F(x2)>
.
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【题目】已知直线l:y=x+1,圆O: ,直线l被圆截得的弦长与椭圆C:
的短轴长相等,椭圆的离心率e=
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M(0, )的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】【2017四川宜宾二诊】已知函数且
.
(I)若,求函数
的单调区间;(其中
是自然对数的底数)
(II)设函数,当
时,曲线
与
有两个交点,求
的取值范围.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , a1= ,且对于任意正整数m,n都有an+m=anam . 若Sn<a对任意n∈N*恒成立,则实数a的最小值是 .
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【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)= ,直线l:y=(k﹣3)x﹣k+2
(1)函数f(x)在x=e处的切线与直线l平行,求实数k的值
(2)若至少存在一个x0∈[1,e]使f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围
(3)设k∈Z,当x>1时f(x)的图象恒在直线l的上方,求k的最大值.
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【题目】已知a>0,设命题p:函数f(x)=x2﹣2ax+1﹣2a在区间[0,1]上与x轴有两个不同的交点;命题q:g(x)=|x﹣a|﹣ax有最小值.若(¬p)∧q是真命题,求实数a的取值范围.
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