Question

【题目】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．

（1）求证：ACBC=ADAE；
（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE，

∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，

∴∠ADC=∠ABE=90°，

∵∠C=∠E，

∴△ADC∽△ABE．

∴AC：AE=AD：AB，

∴ACAB=ADAE，

又AB=BC

故ACBC=ADAE

（2）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC2=FAFB

又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5

∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB

∴

∴

【解析】（1）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得ACAB=ADAE；（2）证明△AFC∽△CFB，即可求AC的长．