Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）= ，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2
（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值
（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=1+lnx，

∴f′（e）=1+lne=k﹣3

∴k=5，

（2）解：由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），

则 ax02＞x0lnx0，

∴a＞

设h（x）=

则h′（x）= ，

当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）

∴h（x）在[1，e]上单调递增，

∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0

（3）解：由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立

即k＜ ，

设F（x）= ，

∴F′（x）= ，

令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣ = ＞0在x＞1时恒成立

所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，

所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0

当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，

当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，

所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

F（x）min=F（x0）= = =x0+2∈（5，6）

故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5

【解析】（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0a＞ ，只需要k大于h（x）= 的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜ ，构造函数，求函数的最小值即可．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．