Question

【题目】给定椭圆C： + =1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2=a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为 ，且经过点（0，1）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2 ，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：记椭圆C的半焦距为c．

由题意，得b=1， = ，c2=a2+b2，

解得a=2，b=1．…（4分）

（2）解：由（1）知，椭圆C的方程为 +y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．

显然直线l的斜率存在．

设直线l的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，

故方程组 （*）有且只有一组解．

由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．

从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（ 4m2﹣4）=0．

化简，得m2=1+4k2．①

因为直线l被圆x2+y2=5所截得的弦长为2 ，

所以圆心到直线l的距离d= = ．

即 = ． ②

由①②，解得k2=2，m2=9．

因为m＞0，所以m=3

【解析】（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b=1， = ，由此能求出a，b．（2）由（1）知，椭圆C的方程为 +y2=1，圆C1的方程为x2+y2=5．设直线l的方程为y=kx+m，由 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由此利用根的判别式、弦长公式、圆心到直线的距离，结合知识点能求出m．