Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，anan+1＝2(Sn＋1) ()．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足b1＝1，(，)，求{bn}的前n项和Tn；

（3）若数列{cn}满足，(，)，试问是否存在正整数p，q（其中1 < p < q），使c1，cp，cq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）由anan+1＝2(Sn＋1)，可得an+1an+2＝2(Sn+1＋1)，两式相减可得an+2an＝2，讨论奇偶可得；（2），，利用裂项相消法可得结果；（3）假设存在正整数数对(p，q)，使c1，cp，cq成等比数列，可得合题意，再证明p3时不合题意即可.

试题解析：（1）由题意anan+1＝2(Sn＋1)， ①

an+1an+2＝2(Sn+1＋1)， ②

由①②得到：an+1(an+2an)＝2an+1， ③

因为an+1>0，则an+2an＝2， ④

又a1＝2，由④可知；a2＝3，由④可知；

因此，．

（2）当n=1时

当时，

＝＝

＝＝；

则＝．

（3）假设存在正整数数对(p，q)，使c1，cp，cq成等比数列，即c1cq＝cp2，

则lgc1＋lgcq＝2 lgc p成等差数列，于是，(＊)．

当时， ，此时，；

可知(p，q)=(2，3) 恰为方程(＊)的一组解．

又当p3时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列．

于是=≤<0，所以此时方程(＊)无正整数解．

综上，存在惟一正整数数对(p，q)=(2，3)，使c1，cp，cq成等比数列．

【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②

；③；

④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.