Question

（本小题满分12分）已知椭圆：，其通径（过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段）长．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，问在轴上是否存在一点，使为常数？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）本题是求椭圆的标准方程，而且只要求一个参数的值，题中已知通径长，因此解题关键是把通径长用表示出来，只要把通径端点的横坐标代入椭圆标准方程求得通径长为即可；（2）本小题是直线与椭圆相交的计算问题，一般方法是相交弦的两个端点的坐标为，设直线方程为，把直线方程代入椭圆方程，再利用韦达定理表示出，另外计算出

，它是常数与无关，则有，从而求得，还要注意验证当轴时，也有.

试题解析：（1）

（2）存在，，当直线与轴不垂直时，设，直线的方程为：

代入得

当时，即，

当直线与轴垂直时，，

， ．

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系.