Question

函数f（x）=|x-3|-|x+1|的（　　）

A．最小值是0，最大值是4

B．最小值是-4，最大值是0

C．最小值是-4，最大值是4

D．最小值，最大值不存在

Answer 1

分析：通过对x＜-1，当-1≤x≤3与x＞3的讨论，将函数f（x）=|x-3|-|x+1|中的绝对值符号去掉，求得该函数的值域，从而可得答案．

解答：解：∵f（x）=|x-3|-|x+1|，
∴当x＜-1时，x-3＜-4＜0，x+1＜0，
f（x）=-（x-3）-[-（x+1）]=3-x+x+1=4；
当-1≤x≤3时，x-3≤0，x+1≥0，
f（x）=-（x-3）-（x+1）=-x+3-x-1=-2x+2；
∴f（x）在x=-1时取最大值f（x）_max=-2×（-1）+2=4；在x=3时取最小值f（x）_min=-2×3+2=-4；
当x＞3时，x-3＞0，x+1＞0，
f（x）=（x-3）-（x+1）=-4；
终上所述：f（x）=

4，x＜-1 -2x+2，-1≤x≤3 -4，x＞3

．
其值域是[-4，4]，即最小值是-4，最大值是4．
故选：C．

点评：本题考查带绝对值的函数，通过对x＜-1，当-1≤x≤3与x＞3的讨论将函数f（x）=|x-3|-|x+1|中的绝对值符号去掉是关键，也是难点，属于中档题．