Question

已知点M(k，l)，P(m，n)(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M，N关于x轴对称，直线MP，NP分别交x轴于点E(x_E,0)和点F(x_F,0)．

(1)用k，l，m，n分别表示x_E和x_F;

(2)当曲线C的方程分别为：x²＋y²＝R²(R>0)，＋＝1(a>b>0)时，探究x_E·x_F的值是否与点M，N，P的位置相关；

(3)类比(2)的探究过程，当曲线C的方程为y²＝2px(p>0)时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论(只要求写出你的探究结论，无须证明)．

Answer 1

解析：(1)依题意N(k，－l)，且klmn≠0及MP，NP与x轴有交点知：

M，P，N为不同点，直线PM的方程为y＝ (x－m)＋n，

直线PN的方程为y＝ (x－m)＋n，

则x_E＝，同理可得x_F＝.

(2)∵M，P在圆C：x²＋y²＝R²上，

∴x_E·x_F＝＝

＝R²(定值)．

∴x_E·x_F的值与点M，N，P位置无关．

同理，∵M，P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，

∴ ∴x_E·x_F＝＝

＝a²(定值)．

∴x_E·x_F的值与点M，N，P位置无关．

(3)一个探究结论是：x_E＋x_F＝0.

证明如下：依题意，

∵M，P在抛物线C：y²＝2px(p>0)上，

∴n²＝2pm，l²＝2pk.

x_E＋x_F＝＝0.

∴x_E＋x_F为定值．