Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，点E、F、G分别为棱AB、BC、PD的中点，平面AEG与线段PC、PF、PB分别交于点H、I、J，且PA=AD=2．
（1）证明：AE∥GH；
（2）求直线EF与平面AEG所成角的大小，并求线段PI的长度．

Answer 1

分析 （1）由AB∥平面PCD即可得出AB∥GH；
（2）以A为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{EF}$和平面AEG的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线EF与平面AEG所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|，设$\overrightarrow{PI}$=$λ\overrightarrow{PF}$，则$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AI}$=0，列方程解出λ．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，又CD?平面PCD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又AB?平面AEG，平面AEG∩平面PCD=GH，
∴AB∥GH．
（2）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0），G（0，1，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AG}$=（0，1，1），
设平面AEG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overline{AG}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1）
∴cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴EF与平面AEG所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$，
∴EF与平面AEG所成角为30°．
P（0，0，2），$\overrightarrow{PF}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-2）
设$\overrightarrow{PI}$=λ$\overrightarrow{PF}$=（2λ，λ，-2λ），则$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{PI}-\overrightarrow{PA}$=（2λ，λ，2-2λ），
∵AI?平面AEG，∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AI}=0$，
∴-λ+2-2λ=0，解得λ=$\frac{2}{3}$．
∴PI=$\frac{2}{3}$PF=$\frac{2}{3}×$$\sqrt{4+1+4}$=2．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，空间向量与线面角的计算，属于中档题．