Question

如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，且平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）求BC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）首先通过运算找到CA，CF，CB两两互相垂直，然后建立空间直角坐标系，找到与平面EAC垂直的法向量，进一步利用向量的夹角求解，最后转化成正弦值．
（2）先假设点Q存在，然后利用反证法进行证明，通过向量的垂直找到矛盾的条件，从而肯定点的不存在．

解答：  解：（1）因为AB=2BC，∠ABC=60°，
在△ABC中，由余弦定理可得 AC=

3

BC，
所以 AC⊥BC．  又因为 FC⊥DC
平面CDEF⊥面ABCD，所以FC⊥平面ABCD． 
所以CA，CF，CB两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系C-xyz．
设BC=1，所以C(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，E(

3

2

，-

1

2

，1)
所以

CE

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CA

=(

3

，0，0)，

CB

=(0，1，0)．
设平面EAC的法向量为

n

=（x，y，z），则有

n • CE =0 n • CA =0

所以 

3 2 x- 1 2 y+z=0 3 x=0.

取z=1，得

n

=（0，2，1）
设BC与平面EAC所成的角为θ，则，sinθ=|cos|＜

CB

，

n

＞|=

| CB • n |

| CB || n |

=

2 5

5

所以 BC与平面EAC所成角的正弦值为

2 5

5

．
（2）线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：
假设线段ED上存在点Q，设 Q(

3

2

，-

1

2

，t)（0≤t≤1），所以

CQ

=(

3

2

，-

1

2

，t)．
设平面QBC的法向量为

m

=（a，b，c），则有

m • CB =0 m • CQ =0

所以 

b=0 3 2 a- 1 2 b+tc=0.

取 c=1，得

m

=(-

2

3

t，0，1)．
要使平面EAC⊥平面QBC，只需

m

•

n

=0，即 -

2

3

t×0+0×2+1×1=0，
此方程无解，所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．

点评：本题考查的知识点：解三角形，利用垂直关系建立空间直角坐标系，法向量，法向量与直线的夹角，反证法在几何问题中的应用