Question

已知函数f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x+π）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简后再利用二倍角的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出单调递增区间；
（Ⅱ）利用平移规律，根据f（x）得到g（x）解析式，确定出函数g（x）的值域，即可确定出最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）-sin（2x+π）
=

3

sin（2x+

π

2

）+sin2x
=

3

cos2x+sin2x
=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期为π；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
则f（x）单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）根据题意得：g（x）=2sin[2（x-

π

12

）+

π

3

]=2sin（2x+

π

6

），
∵2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，
则f（x）的最大值为2，最小值为-1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，以及三角函数的变换，熟练掌握公式是解本题的关键．