Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$满足对任意的实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （-∞，$\frac{13}{8}$]
• C． （-∞，2]
• D． [$\frac{13}{8}$，2）

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：若对任意的实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，
则函数f（x）在R上为减函数，
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）x，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}a-2＜0\\ 2（a-2）≤（\frac{1}{2}）^{2}-1\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，$\frac{13}{8}$]，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．